산술이란

안녕하세요 재히입니다. 오늘은 수학의 기본 "산술"에대해 이야기해보도록 해보겟습니다.

산술이란, 대수학의 한 부분으로 양의 정수, 분수, 소수의 사칙계산에 대한 계산을 중심으로 하여 그 수량에 대한 지식을 알 수 있는 산법을 말해요. 쉽게말해 숫자를 계산하는 행의를 말합니다. 참 쉽죠? 

 

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산술은 자연수와 정수 및 이에대한 사칙연산에 대한 연구를 시작으로 발전해왔어요. 수론은 이러한 주제들을 깊게 다루는 학문으로 이 학문으로는 페르마의 마지막 정리가 가장 유명합니다. "페르마"라는 이름은 어디서든 한 번쯤은 들어본 적이 있는 이름이죠? 물론 페르마의 정리 뿐 아니라 많은 업적을 남긴 사람이기도 하니까요. 

그렇다면 페르마의 마지막 정리에 대해 간단하게 이야기 안 할 순 없겠죠? 페르마의 마지막 정리에 대해 아래 간단히 소개하도록 하겠습니다.

페르마의 마지막 정리는 정수론에서 3 이상 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다는 정리입니다. 이렇게 말로 표현하니 어렵습니다. 수식으로 간단하게 표현하면,

a, b, c가 양의 정수이고, n이 3이상의 정수일 때, a^n + b^n =/ c^n 이다.

페르마의 정리는 중학생정도의 산술정도면 쉽게 증명 할 수 있는 쉬운 증명입니다. 

이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였고, 수 많은 수학자들이 이것을 증명하기 위해 부단히도 노력하였지만, 실패했습니다. 

페르마가 자신의 추측을 기록한지 무려 358년이 지난 1995년이 되어서야 영국의 유명한 수학자인 앤드루 와일스에게 증명되었습니다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않았고, 복잡했기 때문에 페르마가 다른방법으로 증명했거나 실패했었다고 추측할 뿐입니다. 

진실은 알 수 없지만, 저는 개인적인 견해로는 페르마가 증명했었지만 알려지지 않았었다고 생각이 듭니다. 

 

페르마의 정리에 대해 간단하게 알아보았습니다. 페르마의 정리는 증명이 되었지만, 쌍둥이 소수 추측과 골드바흐 추측 등 아주 오랜시간동안 증명되지 못하고 남아있는 많은 난제들이 많습니다. 

풀리지 않는 난제들을 푸는것이 많은 수학자들의 과제이고, 많은 수학자들이 수학이 아름답다 느끼는 포인트이기도 합니다. 

 

수의 체계가 발전하면서, 숫자의 종류에 대해서도 많은 발전이 있었습니다, 

정수 집합을 유리수 집합의 부분집합으로, 유리수 부분집합은 실수집합의 부분집합, 복소수의 부분집합으로 수의 종류에 따라서 수의 특징을 파악하고, 그 숫자를 이용해 더 많은 증명을 만들어 냈습니다. 

수의 체계에 대해 알고 이해하는것이 수학이라는 학문에 한 발걸음 다가서는데 기초적인 역할을 합니다. 따라서 수의 기초 체계에 대해 잘 알아두는것이 좋습니다. 

 

그럼 수의 체계에 대해서도 간단하게 소개해보도록 하겠습니다. 

자연수 : 1부터 시작하여 1씩 커지는 수 (0이나, 음수 제외)

정수 : 0을 포함하고, 양의정수(자연수)와 음의정수를 포함하는 수 

유리수 : 분수로 나타낼 수 있는 수 

무리수 : 우리수가 아닌 무리수라고 하며, 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수

실수 : 유리수와 무리수를 포함하는 수 

         

                                   양의정수(자연수)

                         정수     0

           유리수              음의정수

실수                  정수가아닌 유리수           

           무리수

 

이러한 부분집합 포함관계를 나타냅니다. 

이 뿐만 아니라 자연수를 무한대로 세어나간다는 개념을 형식화한 순서수의 개념을 도출해 낼 수 있고, 집합의 상대적 크기 비교를 이용하여 무한대를 다루는 기수의 개념도 있습니다.

앞으로 하나 씩 설명해 드릴테니, 하나씩 지식을 채워가는 좋은 기회가 되셨으면 좋겠습니다. 

다음시간에는 수학의 한 분야인 대수학에 대해 이야기해보도록 해보겠습니다.