대수학이란

대수학이란 수학의 복잡한 계산에 있어 수 대신 문자를 사용하여 쉽게 문제 해결을 할 수 있는것과 같이, 수학적 법칙을 일반적이고 간명하게 나타내는 것을 포함합니다. 고전의 대수학은 명칭 그대로 수를 대신해 문자를 사용하는 방법으로 방정식을 푸는 방법을 연구하는 학문으로부터 시작되었습니다. 19세기 이후 에바리스트 갈루아가 대수방정시글 연구하기 위해 군이라는 대수적 구조를 도입했고, 이후 현대에서는 고전과는 다르게 추상화되었으며, 방정식의 해법은 "대수방정식론" 이라는 대수학의 일부분이 되었습니다.

 

군, 환, 체 등의 추상적인 추상대수학을 거쳐 현대에서는 대수계의 구조를 보는것을 중심으로하는 선형대수학으로 전개되었습니다.

수의 집합이나 함수같은 많은 수학적 대상들은 내재적인 구조를 보입니다. 집합이나 함수와 같은것들은 구조화 할 수 있다는 의미입니다.

이런 대상들의 구조적 특성들이 군론, 환론, 체론 그리고 그 외의 수 많은 대수적 구조를 연구하면서 다루어집니다.

군, 환, 체는 수학을 전공하면서 필수적으로 배우지만, 비전공자에게는 낯선 단어일 것입니다. 그러므로 군, 환, 채에 대해서 간략하게 설명을 하고 가도록 해보겠습니다,

 

군이란 결합법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항연산을 갖춘 대수 구조를 말합니다. 

여기서 대수구조란 일련의 연산을 갖춘 집합으로 정의되는것을 말하며, 결합법칙은 괄호를 넣는 방식이 연산 결과에 영향을 주지 않는다는 것을 의미합니다. 항등원은 곱셈의 1또는 덧셈의 0과 같은 성질의 원소이며, 역원은 곱셈에서의 역수 또는 덧셈엣의 반수와 같습니다.

 

환이란 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이며, 환은 덧셈에 대해서 아벨군을 이루고 분배법칙과 곱셉의 결합법칙을 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있습니다. 이러한 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론이라고 합니다. 

아벨 군이란 교환법칙이 성립하는 군을 말합니다. 

 

체란 추상대수학에서 사칙연산이 자유롭게 시행될 수 있고, 산술의 잘 알려진 규칙을 만족하는 대수 구조를 말합니다, 모든 체는 가환환이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.(가환환이란 교환법칙을 만족시키는 환을 말합니다.) 체를 연구하는 추상대수학의 분야를 체론 이라고 합니다.

 

이러한 것들이 내재적인 구조를 가진 수학적인 대상입니다. 이 분야에서의 중요한 개념은 벡터입니다. 벡터공간으로의 일반화와 선형대수학에서 지식들이 중요하다고 할 수 있습니다. 

산술, 대수, 기하의 분야들이 벡터의 연구에서는 중요하고, 긴밀하게 연결되어 있습니다. 

 

이렇게 대수의 시작, 대수가 기본적으로 어떠한 것을 기초로 시작되었고, 어떤 것들을 다루는지 간단하게 알아보았습니다. 

다음 시간에는 기하학에 대해 이야기 해보도록 해보겠습니다.